题目

已知函数f（x）=lnx-ax．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）f（x）=0在[1，e²]上有解，求a的取值范围．

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2021-03-02 13:13

优质解答

答案

（Ⅰ）定义域为（0，+∞）f′(x)=(1/x0-a=(1-ax)/x

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）

当a＞0时，令f′(x)＞0，x＜1/a

令f′(x)＜0，x＞1/a

故f（x）的单调递增区间为(0，1/a)，单调递减区间为(1/a，+∞)

（Ⅱ）lnx-ax=0在x∈[1，e²]上有解

故a=lnx/x在x∈[1，e²]上有解

令g(x)=lnx/x(1≤x≤e²)g′(x)=1-lnx/x2

令g′（x）=0得x=eg(1)=0，g(e)=1/e，g(e²)=2/e²

∴0≤g(x)≤1/e

∴0≤a≤1/e

考点名称：函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间

3、最值的定义：

最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．

最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值